Question

函数f（x）＝x²-2lnx的最小值为？

Answer 1

f(x)=x-2lnx，对其求导得

f'(x)=1-2/x，令f'(x)≥0，解得x≥2，令f'(x)<0,解得x<2，则函数f(x)在(-∞,2)上单调递减，在[2,+∞)单调递增，在x=2处取得最小值。

将x=2代入f(x)，得f(2)=4-2ln2。其函数图像如下图所示：

Answer 2

首先，f(x)的定义域为x>0,在此范围上f(x)的导函数在x=1时为0，0<x<1时f(x)的导函数<0,x>1时(x)的导函数>0,因此f(x)在x>0上先递减后递增，在x=1时取得最小值，带进去得到minf(x)=f(1)=1

Answer 3

f(x) =x^2-2lnx
要求最小值
f'(x) = 2x - 2/x
令f'(x)=0
2x - 2/x =0
x^2 -1 =0
x=1 或 -1 (舍去)
要知道 x=1 最小或最大，求f''(x)
f''(x) =2 +2/x^2
f''(1) =4 >0 可推到出最小
最小 f(x) 当 x=1
f(1) =1-0 =1

Answer 4

f(x)定义域（0，+∞）
f'(x)=2x-2/x
=2(x-1)(x+1)/x
令f'(x)=0，x=±1（显然≠-1）
当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)递减
当x>1时f'(x)>0，f(x)递增
f(x)最小值在x=1处取得，f(1)=1