Question

泰勒公式如何推导？

Answer 1

拉格朗日余项的泰勒公式：f'（x）=n+1。

麦克劳林公式是泰勒公式中的一种特殊形式，当x0 = 0 时，泰勒公式又称为麦克劳林公式。即：带拉格朗日余项的麦克劳林公式是带拉格朗日余项的泰勒公式在x0=0时的形式。泰勒公式的意义是把复杂的函数简单化，即化成多项式函数，泰勒公式是在任何点的展开形式。      

泰勒公式的余项：

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。