数学基础系列:极限与连续
本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。
我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于 ,可以定义一个非负的 Euclidean distance 。通过这个,我们可以定义某个点 的 - 邻域 ( -neighbourhood )为集合 ,其中 。
如果对于集合 , ,都 ,使得该点的 -邻域是 的子集,这样的集合 叫 开集(open set) 。 和 也都为开集。
上的所有开集组成的collection,称为 topology of (拓扑),或者 usual topology on (通常拓扑)。我们还可以在 的子集或子空间(subspace)上讨论topology,对于 ,如果 ,都 ,使得 ,就称 在 中是 开 的( is open in )。比如 ,在 中不是开的,但在 中是开的。所有这些集合定义了relative topology on (相对拓扑),由定义直接可得以下定理。
定理 :若 在 中是开的,则 在relative topology on 中是开的。
对于某个点 ,若 , 均为非空集合,则称 为集合 的一个 闭包点(closure point) ,它不一定是 中的元素。 的所有的闭包点组成了 的 闭包(closure) ,记作 或 。
对于某个点 ,若它是 的闭包点,则称它是 的 会聚点(accumulation point) 。若 是 的闭包点且 ,则 也是 的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点,就是 的 孤点(isolated point) 。比如集合 ,则 为 的孤点。
若点 满足 , 均非空,则 称为集合 的 边界点 ( boundary point )。可以将 的所有边界点组成的集合记为 ,则 。
的 内部 ( interior )就是集合 。
闭集 ( Closed set )就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合,对这样的集合来说, 。
定理 : 上的开集,其补集是闭集。
这是闭集的另一个定义。可以看出, 和 都既是开集又是闭集。推广至relative topologies,有如下定理。
定理 :若 在 中是开的,则 在 中是闭的。
定理 :(1)开集的collection的并是开的;(2)若 和 都是开的,那么 也是开的。
定理 :每个开集 都可表达为可数个不交开区间的并。
定理 : 包含了 中的开集和闭集。
若一个collection 满足对于一个 , ,则称 为 的一个 覆盖 ( covering )。若这里每个 都是开集,则称该覆盖为 开覆盖 ( open covering )。
定理 (Lindelof's covering theorem) :对于由 上的开子集组成的任意的一个collection ,必定存在可数的subcollection ,使得
这也就是说,若 是 中某个集合的覆盖,那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫 Lindelof property 。
由覆盖的概念,可以导出一个更重要的概念: 紧致性 ( compactness ):若对于集合 , 每个 的 开覆盖 都包含了一个 有限 的子覆盖,则称 是 紧的 ( compact )。
理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子,对于 ,可数collection 是一个开覆盖,但没有有限的子覆盖,因此 不是紧的。
若 和 , ,则称 是 有界的 ( bounded )。换句话说,有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念,我们回到紧致性。
定理 :在 中的一个集合是紧的,当且仅当它是闭的、有界的。
对于 的子集 ,若 ,则称 在 中 稠密 ( dense )。
定理 :若 是 上的区间, 是一个可数集合,则 在 中稠密。
实序列(real sequence)是一个从 到 的映射,定义域中的元素称为indices,它们的值域称为序列的项/成员/坐标(terms/members/coordinates)。
称 收敛于 ( converge to)极限 ,若 , ,使得 。若序列趋于 则称 发散 ( diverge ),有时这也叫在 中收敛,这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。
定理 :任意在紧集中的单调序列均收敛。
即使序列不收敛,也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列(subsequence) 和常数 ,使得 ,则称 为序列的 聚集点 ( cluster point )。比如序列 ,可以用它的奇数位置元素和偶数位置元素分别构造出收敛子列。
子序列的概念很重要。典型的推理路线是这样的,先确定一个收敛子列(可能是单调序列),再利用序列的其他特性来说明聚集点是一个极限。由于序列的成员都是在紧集中的,一方面紧集是有界的,所以这样的序列不可能发散至无穷大,另一方面紧集又是闭的,所有的极限点或聚集点都在集合中。
定理 :在 上的紧集中的任意序列,都有至少一个聚集点。
定理 :在紧集中的序列,要不就有两个或更多的聚集点,要不就收敛。
例子:考虑序列 ,若 则收敛于 ,若 则收敛于 ,若 则其在 中发散,或者叫在 中收敛至 ,若 则在两个聚集点 和 之间摇摆,若 则在 中发散,或者说在 中的两个聚集点 和 之间摇摆。
接下来讨论实数序列。实数序列 的 上极限 ( superior limit )定义为
类似可定义 下极限 ( inferior limit )为
当 与 相等,序列收敛。
这几个概念可用来处理极限问题。有时候,直接假设极限存在是不合理的,但limsup和liminf是总是存在的,只需推导它们,再说明它们相等就行,另一个充分条件是 ,也可以推出极限存在。
对于实数序列,有一个判断收敛的 Cauchy准则 ( Cauchy criterion ): 收敛,等价于, , ,使得对于 , ,有 。满足这个条件的,也叫 Cauchy序列 ( Cauchy sequence )。满足本节开头对收敛的定义的数列必为Cauchy数列,实数Cauchy数列也必定有极限,两种极限的定义在 上等价。但Cauchy准则在很多时候更容易检验。
在集合 中的Cauchy序列,它的极限是 的会聚点;反之,每个 的会聚点 ,都存在极限为 的Cauchy序列。因此, 极限点 ( limit point )有时是会聚点(accumulation point)的同义词。
定理 :任意实数都是某个有理数Cauchy序列的极限。
该定理意味着,任一实数的任一 -邻域中,必定存在一个有理数,即 在 中是稠密的。另外, 的补集 也是稠密的,因此,正常人的直觉“稠密的集合的补集是稀疏的”是错误的。
定理 :任意开区间都是某个端点为有理数的闭子区间序列的极限。
这说明了,开集序列的极限不一定是开的,闭集序列的极限不一定是闭的。但是,非递减的开集序列的极限是开的,非递增的闭集序列的极限是闭的。
本节讨论函数及其连续性的概念。现有一个在实变量上的函数 , , ,对于“ 连续性 ”( continuity ), 在 处连续的正式定义为: , ,使得只要 就有 。若 在 的每个点上都连续,则称它在 上连续。
定理 :假设 在 的所有点上连续,那么,若 在 上是开的则 在 上是开的,若 在 上是闭的则 在 上是闭的。
注意,这条定理没有说,若 是开的则 是开的。如果一个映射满足若 是开的则 是开的,可以称为 开映射 ( open mapping )。由于 ,因此开映射未必是 闭映射 ( closed mapping )。但有一种特殊的函数,就是 同胚 ( homeomorphism )。同胚是这样的一种函数,它是 - onto(满射、单射)、连续,并且反函数也连续。若 为同胚,则 也是同胚,同胚既是开映射,又是闭映射。
目前我们定义的连续,是关于函数在某个点处的性质,并不是函数自身的性质,为此还需要引入 一致连续 ( uniformly continuous )的概念: , , ,使得,只要 ,就有 。
定理 :如果一个函数在 紧集 上处处连续,则它在 上必定是有界且一致连续的。
连续性是关于函数 光滑性 ( smoothness )的最弱的概念,另外还有Lipschitz条件、可微、有界变差等概念。
我们来看 Lipschitz条件 ( Lipschitz condition ):对于某个 , ,若 ,使得 ,其中 满足当 时 ,则称函数 在点 处满足Lipschitz条件。若固定 , 上面的条件都成立,则称 满足 一致Lipschitz条件 ( uniform Lipschitz condition )。
可微 ( diffrentiable )也是一种光滑性的概念。
当定义域是区间时,另一个光滑性的概念是 有界变差 ( bounded variation )。若 ,使得,对于区间 ,任意一种用有限个点 产生的划分,满足 ,则称函数 是有界变差的。
定理 : 是有界变差的,当且仅当存在非递减函数 和 使得 。
另外,在 上由 满足一致Lipschitz条件的函数,在 上是有界变差的。
以上几节的结论,一般都可推广到 空间上。
定理 :现有 ,其中 , ,当且仅当 是连续的时,有:若 在 上是开的则 在 上是开的,若 在 上是闭的则 在 上是闭的。
取函数 ,其中 , 可以是任意集合(不一定是 的子集),则 就是函数的序列。
若存在一个 , , , ,使得当 时必有 ,则称 在 上逐点收敛于 (converge to , pointwise on )。
同理,我们可以定义函数序列的 一致收敛 ( uniform convergence ):若存在一个 ,使得 ,都 使得当 时有 ,则称 在 上一致收敛于 (converge to uniformly on )。
对于实数序列 ,它的项的和称为 级数 ( series ),写为 (或 )。序列 称为级数的 部分和 ( partial sums )。对于一个级数来说,若部分和收敛于有限的极限,则称该级数收敛。另外,若单调序列 收敛,则称对应的级数 绝对收敛 ( converge absolutely )。
比如 几何级数 ( geometric series ) ,若 则它收敛于 ,且它也是绝对收敛的,若 则它在两个聚集点 和 之间摇摆,若 取其他值则它发散。
定理 :若级数绝对收敛,则它必收敛。
对应的一个术语叫 summability ,有时翻译成可求和性,但它是对应于数列的。若级数 收敛则称 是summable,若 是summable则称 是absolutely summable。Summable序列必定收敛于 ,反之不然,除非尾部和( tail sums )收敛于 ,这是个充要条件,见下面定理。
定理 : 是summable,当且仅当 时有 。
还有一个比普通的收敛更弱的概念:若 收敛,则称 是 Cesaro-summable 的。
定理 :若 收敛于 ,则它的Cesaro和(Cesaro sum)也收敛于 。
注意,不收敛的序列也可能是Cesaro-summable的,比如序列 ,它不收敛,它的Cesaro和收敛于 ,它的部分和序列 的Cesaro和收敛于 。
记号 表示, ,使得 , 。下面是有关收敛速率的定理。
定理 : 为正的实数序列, ,则
事实上, 就意味着存在 和 ,使得 ,而 时
2024-04-02 广告