Question

请问最后这一步，为什么β1和β2的秩小于线性无关的解向量的个数？

Answer 1

这两个向量都是解,必然可以由基础解系(线性无关解向量组)线性表示,所以必然小于等于(不是小于,可能等于)线性无关解向量个数

Answer 2

我们知道，
线性齐次方程组的基础解向量的个数=未知变量个数n-系数矩阵秩r(A)
而又因β1,β2都是齐次方程的解，
但他们俩并不一定都是基础解向量。
(基础解向量必须满足是方程的解，且解向量是线性无关的)
所以就有r(β1,β2)≤n-r(A)