Question

七分之五能不能拆成两个埃及分数，能拆成两个不同单位分数的分数有什么规律？

Answer 1

第一问，5/7 能不能拆分为两个埃及分数。

答案是，不能。

设a和b为正整数，5/7=1/a+1/b，则：

5ab=7(a+b)

a和b至少有一个含有7因子，假设 a=7k，k为正整数

5*7kb=7(7k+b)

5kb=7k+b

b=7k/(5k-1)

要使得b为正整数，5k-1 必须能被7整除，即：5k-1=1或7

k=2/5，或 k=8/5，与k为正整数矛盾，b无正整数解

因此，5/7 不能拆分成两个埃及分数

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第二问，有什么规律？

假设需拆分的分数为 n/m，则：

b=mk/(nk-1)

当 m是(nk-1)的倍数时，b有正整数解

因此，对于n/m而言，当m为(nk-1)的倍数时，有可能拆分为两个埃及分数

之所以说“有可能”，是因为埃及分数拆分的一般解没有数学推导方法，通常只能枚举试算。当解的分布很少时，也可能存在无解的情况。