伯努利微分方程详细资料大全
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形如y'+P(x)y=Q(x)y^n的微分方程,称为伯努利微分方程,其中n≠0并且n≠1,其中P(x),Q(x)为已知函式,因为当n=0,1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)命名,他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的,因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。
基本介绍
- 中文名 :伯努利微分方程
- 外文名 :Bernoulli differential equation
- 领域 :数学
- 提出者 :雅各布·伯努利
- 性质 :具有已知精确解的非线性微分方程
- 公式形式 :y'+P(x)y=Q(x)y^n
简介
形如y'+P(x)y=Q(x)y^n的微分方程,称为伯努利微分方程,其中n≠0并且n≠1,其中P(x),Q(x)为已知函式,因为当n=0,1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)命名,他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的,因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。转换为线性微分方程
伯努利微分方程可以把变数替换成为线性微分方程,将伯努利微分方程两端除以 ,得 作变数替换 ,则 。代入上式,有: 这是以z为未知函式的一阶线性微分方程,由此方程解出z,再由 可得伯努利微分方程的解。 注意,对于n=0和n = 1,伯努利方程是线性的。 对于n≠0和n≠1,替换 将任何伯努利方程调整到线性微分方程。 例如: 让我们考虑以下微分方程: 以伯努利形式(用n = 2))重写它: 现在,用 我们得到: ,它是一个线性微分方程。求解
作为线性微分方程的解: 那么我们有 是下面方程的解 对于每个这样的微分方程,都有 >0,我们有y恒等于0。
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