Question

已知a.b为实数,关于x的方程｜x2+ax+b|=2的根为三个不等实数根

Answer 1

a,b为实数,关于x的方程｜X2+ax+b|=2有三个不等的实数根.(1)求证：a2－4b-8=0;(2)若该方程的三个不等实根恰为一个三角形三个内角度数值,求证该三角形必有一个内角是60度.(3)若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角行的三条边,求a,b的值.(1)当x^2+ax+b=2时,x^2+ax+b-2=0.①所以根据求根公式：x1 = [-a+√(a^2-4b+8)]/2 ,x2 = [-a-√(a^2-4b+8)]/2当x^2+ax+b=-2时,x^2+ax+b+2=0.②x1= [-a+√(a^2-4b-8)]/2 ,x2= [-a-√(a^2-4b-8)]/2依题意,只有三个不等实根.所以必有一个方程的判定式＝0.当方程①的a^2-4b+8=0时,有a^2-4b=-8,则a^2-4b-8=-6,则方程②无解,则整个方程只有一个根.所以只有当a^2-4b-8=0时,才满足题意.得证.(2)由(1)知,a^2-4b-8=0.由方程1得：x1=[-a+√(a^2-4b+8)]/2,x2=[-a-√(a^2-4b+8)]/2.由方程2得：x3=-a/2又因为三个根为一个三角形的三个内角,依三角形内角和公式有：x1+x2+x3=180,即[-a+√(a^2-4b+8)]/2 + [-a-√(a^2-4b+8)]/2 + (-a/2) = 180上式＝-3a/2=180,所以a=-120所以x3=-a/2=60,得证.(3)比较三个根的大小,易得:[-a+√(a^2-4b+8)]/2≥-a/2≥[-a-√(a^2-4b+8)]/2,即x1≥x3≥x2又因为三根为直角三角形三边,则x1为斜边,有：x1^2=x3^2+x2^2即{[-a+√(a^2-4b+8)]/2}^2={[-a-√(a^2-4b+8)]/2}^2+(-a/2)^2化简得：a^2+4a√(a^2-4b+8)=0.③又由(1)得：a^2-4b=8.④③,④二个方程联立解得：a=-16,b=62