Question

a、b为实数，关于x的方程|x 2 +ax+b|=2有三个不等的实数根．（1）求证：a 2 -4b-8=0；（2）若该方程的三

a、b为实数，关于x的方程|x 2 +ax+b|=2有三个不等的实数根．（1）求证：a 2 -4b-8=0；（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°；（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

Answer 1

证明：（1）由原方程得：x 2 +ax+b-2=0①，x 2 +ax+b+2=0②， 两方程的判别式分别为：△ 1 =a 2 -4b+8，△ 2 =a 2 -4b-8， ∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即△ 1 ，△ 2 中必有一个大于0，一个等于0，比较△ 1 ，△ 2 ，显然△ 1 ＞△ 2 ， ∴△ 1 ＞0，△ 2 =0， 即a 2 -4b-8=0； （2）设方程①的两根为x 1 ，x 2 ，方程②的根为x 3 ，则x 1 +x 2 +x 3 =180°， ∵x 1 +x 2 =-a，x 3 =- a 2 ， ∴x 1 +x 2 +x 3 =- 3 2 a=180°， ∴a=-120°， ∴x 3 =- a 2 =60°． 故该三角形中有一个内角为60°； （3）方程①中的两根x 1 ，x 2 必有一个大于方程②中的x 3 ，而另一个小于x 3 ， ∴可以设x 1 ＞x 3 ＞x 2 ，则由已知得：x 1 2 -x 2 2 =x 3 2 ，即（x 1 +x 2 ）（x 1 -x 2 ）=x 3 2 ． ∴-a? a 2 -4(b-2) = (- a 2 ) 2 整理得：a 2 +4a a 2 -4b+8 =0 由（1）有：a 2 -4b=8代入上式得：a 2 +16a=0， ∴a 1 =0，a 2 =-16． 当a=0时，x 3 =0，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾， ∴a=-16． 把a=-16代入a 2 -4b-8=0中，得b=62． 故a=-16，b=62．