怎样证明函数有界性？
判断方法：首先因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。
扩展资料：
在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续性定理。
其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。
我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。
参考资料来源：百度百科-有界性定理
在判别函数的有界性时，我们需要先知道以下两个重要结论，即：
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。
若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且端点处函数的极限存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界。
遇到类似这样的题，首先需要先明确函数的定义域，判断函数不能取哪些点，其实题目就是按照定义域来划分自变量的取值范围的。
其次，在不能取的点处，需要通过算极限来判断函数是否有界，如果函数在对应趋向点处的极限是确定的数值，说明有界；如果是无穷大，则为无界。注意在计算极限的时候，左右极限不相同时，需要分别计算出左极限和右极限。
扩展资料
一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。
sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。
性质：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。
参考资料来源：百度百科-函数的有界性
取x=2kπ，有f(x)=2kπ，则有2kπ<=M，设N=[M/2π]+1,当k>N时，有f(2kπ)>M，矛盾，故函数y=xcosx无界
取x_k=2k∏ 为实数，则y（x_k）=k，显然当k趋于无穷时，y（x_k）也趋于无穷。因此函数y=xcosx在实数范围内无界。
