Question

已知函数f(x)＝2ax+a2−1x2+1，其中a∈R．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．

（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝
2x
x2+1，f′(x)＝−
2(x+1)(x−1)
(x2+1)2．…（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求导函数可得，f′(x)＝−
2(x+a)(ax−1)
(x2+1)2．…（6分）
当a=0时，f′(x)＝
2x
(x2+1)2，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．…（7分）
当a≠0，f′(x)＝−2a
(x+a)(x−
1
a)
(x2+1)2．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a，x2＝
1
a，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ f（x1） ↗ f（x2） ↘故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），(
1
a，+∞)；单调增区间是(−a，
1
a)．…（10分）
②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x2） x2 （x2，x1） x1 （x1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ f（x2） ↘ f（x1） ↗所以f（x）的单调增区间是(−∞，
1
a)，（-a，+∞）；单调减区间是(
1
a，−a)，（-a，+∞）．…（13分）
综上，a＞0时，f（x）在（-∞，-a），(
1
a，+∞)单调递减；在(−a，
1
a)单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在(−∞，
1
a)，（-a，+∞）单调递增；在(
1
a，−a)单调递减．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．