Question

已知函数f(x)＝ax2−2x，x∈R（其中a＞0且a≠1）；

Answer 1

解题思路：（1）根据a＞1，可以得到复合函数的外函数为单调递增函数，将求函数f（x）的单调区间转化为求u=x 2-2x的单调区间，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，即可得到y=x 2-2x的单调区间，从而确定函数f（x）的单调区间；
（2）将a=[1/2]代入函数f（x）中，得到f（x）的表达式，再求出u=x 2-2x的取值范围，利用指数函数的单调性即可求得函数的值域．

（1）∵函数f(x)＝ax2−2x，x∈R是由y=au和u=x2-2x两个函数复合而成，
∵内函数u=x2-2x的对称轴为x=1，
∴u=x2-2x的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞），
∵a＞1，
∴外函数y=au是R上的单调递增函数，
根据复合函数单调性的“同增异减”规则，
∴函数f(x)＝ax2−2x的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）；
（2）当a=[1/2]，则f（x）=(
1
2)x2−2x，
∵u=x2-2x=（x-1）2-1，
∴对称轴为x=1∈[0，3]，
∴当x=1时，u取最小值-1，当x=3时，u取最大值3，
∴-1≤u≤3，
∵y=（[1/2]）u是R上的单调递减函数，
∴当u=3时，y=（[1/2]）u取最小值[1/8]，当u=-1时，y=（[1/2]）u取最大值2，
∴[1/8]≤y≤2，
∴f（x）在x∈[0，3]上的值域为[
1
8，2]．

点评：
本题考点： 指数函数的单调性与特殊点；函数的值域．

考点点评： 本题考查了函数的单调性与特殊点，考查了函数的值域．对于函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题运用了复合函数的单调性，关键是应用复合函数单调性判断的规则“同增异减”．常见的求值域的方法有：直接法，单调性法，换元法，分离常数法，性质法，不等式法，几何意义法等等．根据具体的题目的条件，判断出该题该使用何种方法进行求解．属于中档题．