Question

设已知事件A，B，C相互独立，试证：A∪B，AB，A-B与C独立．

Answer 1

【答案】：因为
P[(A∪B)C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)
=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
=[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]P(C)
=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)
=P(A∪B)P(C)
所以A∪B与C独立．因为
P((AB)C)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)
所以AB与C独立．
由于A，B，C相互独立，由多个事件独立的性质可知，A，B，C也独立，再由前面的证明可知AB与C独立，即A-B与C独立．