Question

浅谈“判别式法”求函数值域|用判别式法求函数值域

Answer 1

　　形如y=■(a1、a2不同时为0，x∈D)的函数，其值域的求解可利用“判别式法”。即将原函数转化为关于x的方程(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+c2y-c1=0，根据原函数在x∈D内有意义等价于方程在x∈D内有实根的原则，求出y的取值范围：（1）若a2y-a1=0时，方程在x∈D内有实根，则y=■；（2）若a2y-a1≠0时，方程在x∈D有实根，则利用判别式，结合方程根的情况求出y。
　　例1：求函数y=■的值域。
　　解：原函数变形为关于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。∵原函数定域为R。∴上述方程在x∈R内有实根。
　　（1）当y-2=0时,方程化为13=0在x∈R内无实根,不合题意，故y≠2；
　　（2）当y-2≠0时, 上述方程为一元二次方程, 要使该方程在x∈R内有实根, 必须满足?驻=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。
　　综合(1)(2)，得原函数的值域为[－■,2)。
　　例2：求函数y=■的值域。
　　解：原函数变形为关于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有实根。
　　（1）若y-2=0，方程化为x-3=0，其在上述区间内有实根，此时y=2；
　　（2）若y-2≠0，方程为一元二次方程，要使其在上述区间内有实根只须?驻=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。
　　综合(1)(2)，得原函数值域为(-∞,■ ]∪[■,+∞)。
　　例3：已知x＞■，求函数f(x)=■的值域。
　　解：原函数变形为关于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。∵原函数定义域为（■,+∞），∴上述方程在（■,+∞）上有根，则?驻≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?驻≥0，（x1-■)(x2-■) 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文