Question

解微分方程(x-2y)dy-dx=0？

Answer 1

这是一个一阶非线性常微分方程。让我们一起来解决它。

首先，我们将方程重新整理为标准的形式：

(x - 2y)dy - dx = 0

将dy移到等式右侧，得到：

(x - 2y)dy = dx

现在我们可以应用分离变量的方法，将x和y的项分开。将方程重新排列如下：

(x - 2y)dy = dx

将dy除以(x - 2y)，并将dx除以1，得到：

dy / (x - 2y) = dx / 1

现在我们可以对方程两边进行积分。对左侧进行积分时，我们需要使用变量替换。令u = x - 2y，那么du = dx - 2dy。我们可以将方程重写为：

1 / u * du = dx / 1

现在我们可以对方程两边分别进行积分：

∫(1 / u) du = ∫dx

ln|u| = x + C1

其中C1是常数。

接下来，我们需要将u替换回x和y的表达式。我们知道u = x - 2y，所以我们可以得到：

ln|x - 2y| = x + C1

接下来，我们可以通过对等式两边取指数来消除对数项：

|x - 2y| = e^(x + C1)

现在，我们可以考虑e^(C1)。由于e^(C1)是正常数，我们可以将其表示为常数C：

|x - 2y| = Ce^x

其中C是一个非零常数。

现在，我们可以将绝对值符号去掉，并将等式分为两种情况：

• x - 2y = Ce^x

• x - 2y = -Ce^x

这是原方程的通解。你可以选择其中一个等式，根据给定的初始条件或特定的问题来确定常数C，并找到特定的解。