3.求函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 的最小正周期,最大值和最小值
2023-07-30
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首先,我们对函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 进行简化。
根据三角恒等式 sin^2x + cos^2x = 1,我们可以将函数简化为:
y = 3(sin^2x + cos^2x) - 2sinxcosx = 3 - 2sinxcosx
最小正周期:
sin(x) 和 cos(x) 的最小正周期均为 2π,因此函数 y 的最小正周期也为 2π。
最大值和最小值:
我们可以将函数 y=3 - 2sinxcosx 写成 y = 3 - sin(2x) 的形式。
sin(2x) 的最大值和最小值分别为 1 和 -1。
因此,函数 y=3 - sin(2x) 的最大值为 3 - 1 = 2,最小值为 3 - (-1) = 4。
所以,函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 的最小正周期为 2π,最大值为 4,最小值为 2。
根据三角恒等式 sin^2x + cos^2x = 1,我们可以将函数简化为:
y = 3(sin^2x + cos^2x) - 2sinxcosx = 3 - 2sinxcosx
最小正周期:
sin(x) 和 cos(x) 的最小正周期均为 2π,因此函数 y 的最小正周期也为 2π。
最大值和最小值:
我们可以将函数 y=3 - 2sinxcosx 写成 y = 3 - sin(2x) 的形式。
sin(2x) 的最大值和最小值分别为 1 和 -1。
因此,函数 y=3 - sin(2x) 的最大值为 3 - 1 = 2,最小值为 3 - (-1) = 4。
所以,函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 的最小正周期为 2π,最大值为 4,最小值为 2。
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要确定函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 的最小正周期,我们需要考虑三角函数的周期性质。
对于任何三角函数 f(x),其最小正周期可以表示为 2π/k,其中 k 是正整数。在这个函数中,我们可以将它化简为:
y = (sinx - cosx)^2
可以观察到,它是两个三角函数之差的平方。根据三角函数的和差公式,我们知道:
sin(x ± π/4) = sinx*cos(±π/4) ± cosx*sin(±π/4)
其中,sin(±π/4) 和 cos(±π/4) 的值都是 1/√2。因此,我们可以将 y 进一步化简为:
y = (sinx - cosx)^2
= sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x
= (sinx - cosx)^2
= sin^2(x - π/4)
由此可见,函数 y 的最小正周期为 π,即 2π/1。因此,这个函数的最小正周期为 π。
接下来,我们来求函数 y 的最大值和最小值。
通过观察,我们可以发现函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 实际上是两个三角函数 sin^2x 和 cos^2x 的和。
由三角函数的性质可知,0 ≤ sin^2x ≤ 1 和 0 ≤ cos^2x ≤ 1。因此,函数 y 的取值范围是 0 到 2。
最小值为 0,当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最小值 0 时,即 x = (2n + 1)π,其中 n 是整数。
最大值为 2,当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最大值 1 时,即 x = 2nπ 或 x = (2n + 1)π,其中 n 是整数。
综上所述,函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 的最小正周期为 π,最大值为 2,最小值为 0。
对于任何三角函数 f(x),其最小正周期可以表示为 2π/k,其中 k 是正整数。在这个函数中,我们可以将它化简为:
y = (sinx - cosx)^2
可以观察到,它是两个三角函数之差的平方。根据三角函数的和差公式,我们知道:
sin(x ± π/4) = sinx*cos(±π/4) ± cosx*sin(±π/4)
其中,sin(±π/4) 和 cos(±π/4) 的值都是 1/√2。因此,我们可以将 y 进一步化简为:
y = (sinx - cosx)^2
= sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x
= (sinx - cosx)^2
= sin^2(x - π/4)
由此可见,函数 y 的最小正周期为 π,即 2π/1。因此,这个函数的最小正周期为 π。
接下来,我们来求函数 y 的最大值和最小值。
通过观察,我们可以发现函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 实际上是两个三角函数 sin^2x 和 cos^2x 的和。
由三角函数的性质可知,0 ≤ sin^2x ≤ 1 和 0 ≤ cos^2x ≤ 1。因此,函数 y 的取值范围是 0 到 2。
最小值为 0,当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最小值 0 时,即 x = (2n + 1)π,其中 n 是整数。
最大值为 2,当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最大值 1 时,即 x = 2nπ 或 x = (2n + 1)π,其中 n 是整数。
综上所述,函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 的最小正周期为 π,最大值为 2,最小值为 0。
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