芝诺的悖论是什么？
芝诺的系列悖论中最有名的一个是“阿喀琉斯和乌龟”。
神话中，阿喀琉斯（也称阿基里斯，希腊神话中的勇士，曾参加围攻特洛伊城）出生后被其母倒提着脚在冥河水中浸过，因此除未浸到水的脚踵外，浑身刀枪不入。
“阿喀琉斯和乌龟”悖论说的是，英雄阿喀琉斯参加与一只乌龟的长跑比赛。
这不是一只普通乌龟，而是在击败了伊索（古希腊寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只乌龟。
为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟领先一步——比如1千米。比赛开始后，阿喀琉斯很快就到达了乌龟的出发点。
然而，此时乌龟已笨拙地前进了一段距离，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了这100米，但此刻乌龟又往前挪动了一小段距离——1/100千米……
芝诺悖论指出，由于乌龟总是领先阿喀琉斯一步——每当阿喀琉斯到达乌龟所在的上一个位置，乌龟总是又往前走了一段距离（尽管这段距离可能很短很短），所以阿喀琉斯永远都追不上乌龟。
虽然阿喀琉斯每次所跑的距离越来越短，但乌龟有无限段领先距离需要他跨越。这个距离用公式可表述为：
1+1/10+1/100+1/1000+…10的无限次方分之一
根据芝诺所言，阿喀琉斯“不可能在有限时间内跨越无限段的距离”。
直到19世纪，数学家才证明了芝诺悖论是错的。随着阿喀琉斯与乌龟之间的距离越来越短，阿喀琉斯追赶得也越来越快。
事实上，阿喀琉斯与乌龟之间的距离最终会变得无限短，以至于他瞬间就跑过了乌龟。
因此，他完全能赶上乌龟，轻易超越它。
也许读到这里，还是有些读者搞不明白芝诺悖论为什么是错的。
其实，不少当代哲学家声称，芝诺悖论在数学逻辑上也许是错的，但在逻辑思维上完全站得住脚。果真如此吗？
事实上，提出这一悖论的芝诺本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上乌龟。不然的话，芝诺悖论就不会被叫作悖论了。芝诺把阿喀琉斯追乌龟的过程无限分割，这一点没有什么错误。
但由此得出追赶过程的段落无穷多、因而追赶过程的持续时间也无穷大这个结论就大错特错了。无穷个数字相加之和可以是有限的数值，而不是想当然的无穷大。
中国庄周所著《庄子》一书的《天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
一尺的长度可以无限分割，换句话说，无穷个线段相加可以等于一尺。
无穷个线段之和可以是有限的，因此走完这样的无穷个线段所需的时间也是有限的。
线段上有无穷个点，点没有大小，线段却有确定的长度。
这个问题正好和芝诺悖论有些相似，如果理解不了芝诺悖论，那么就解释不清楚为什么没有长度的点能构成线段。
事实上，这也正是亚里士多德对芝诺这一悖论的反驳思路。
现在回到前述的悖论。
那么，到什么位置时阿喀琉斯能追上乌龟呢？由于19世纪数学家们的工作，我们知道，对于任何介于0和1之间的数值n来说：
1+n+n2 +n3 +…n的无限次方=1/（1-n）
对于芝诺悖论而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯会在仅仅跑了1.11米之后就追上乌龟。
看上去，这个结果不过是满足人们对一个历史悖论的好奇心。然而，这种观念直到今天依然具有现实意义。
当然，数学家们不是用它来研究人龟赛跑，而是利用它来与疾病作斗争。
