Question

数学解答题 要详细的过程

已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,G是三角形的重心,且56sinA*GA向量+40sinB*GB向量+35sinC*GC向量=0向量。求角B的大小

Answer 1

56sinAGA+40sinBGB+35sinCGC=0
即：56aGA+40bGB+35cGC=0
G是重心，故：GA+GB+GC=0
故：56aGA+40bGB+35c(-GA-GB)=0
即：(56a-35c)GA+(40b-35c)GB=0
即：56a=35c，40b=35c
即：8a=5c，8b=7c，令c=k
则：a=5k/8，b=7k/8
即：a：b：c=5：7：8
令：a=5t，b=7t，c=8t，则：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(25t^2+64t^2-49t^2)/(80t^2)
=1/2，故：B=π/3

追问

为何得出了(56a-35c)GA+(40b-35c)GB=0后可以知道56a=35c，40b=35c？？？

追答

向量GA与GB都是不等于0的要使和为0则有56a=35c，40b=35c

Answer 2

1.
延长AO交BC于D，
AO=2/3AD,
向量AD=1/2(向量AC+向量AB)(这个老师应该教过)，
所以：向量AO=1/3(向量AB+向量AC)
同理：向量BO=1/3(向量BC+向量BA)
向量CO=1/3(向量CA+向量CB)
把三个式子一加，就会得到结论
向量GA+向量GB+向量GC=0

2.
由 向量GA+向量GB+向量GC=0得
a(向量GA+向量GB+向量GC)=0
与 a向量GA+b向量GB+C向量GC=0 相减,得
(a-b)向量GB+(a-c)向量GC=0 (1)
由于向量GB与向量GC不在同一条直线上(否则不能构成三角形)
故若满足(1)式,只能有a-b=0且a-c=0
所以a=b=c, 是等边三角形