Question

阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数
是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？

Answer 1

过程
解：设公牛为1，母牛为2，白牛为A，黑牛为B，花牛为C，棕牛为D。

则，由题意可得：

A1-D1=(1/2+1/3)B1=5/6*B1 ①

B1-D1=(1/4+1/5)C1=9/20*C1 ②

C1-D1=(1/6+1/7)A1=13/42*A1 ③

A2=(1/3+1/4)B=7/12(B1+B2) ④

B2=(1/4+1/5)C=9/20(C1+C2) ⑤

C2=(1/5+1/6)D=11/30(D1+D2) ⑥

D2=(1/6+1/7)A=13/42(A1+A2) ⑦

②-①，整理得：A1=11/6*B1-9/20*C1 ⑧

③-①，整理得：55/42*A1=C1+5/6*B1 ⑨

将⑧代入⑨，整理得：B1=801/790*C1 ⑩

将⑩代入⑧，整理得: A1=1113/790*C1 ①’

将⑩①’代入①，整理得：D1=445.5/790*C1 ②’

将①’代入⑦，整理得：D2=14469/33180*C1+13/42*A2 ③’

将②’ ③’代入⑥，整理得：C2=6083/16590*C1+143/1260*A2 ④’

将④’代入⑤，整理得：B2=68019/110600*C1+429/8400*A2 ⑤’

将⑩⑤’代入④，整理得：A2=360318/367903*C1 ⑥’

将⑥’代入⑤’，整理得： B2=2446623/3679030*C1 ⑦’

将⑥’代入④’，整理得：C2=175791/367903*C1 ⑧’

将⑥’代入③’，整理得：D2=5439213/7358060*C1 ⑨’

综上所述：

A1=1113/790*C1 ①’ B1=801/790*C1 ⑩ D1=445.5/790*C1 ②’

A2=360318/367903*C1 ⑥’ B2=2446623/3679030*C1 ⑦’

C2=175791/367903*C1 ⑧’ D2=5439213/7358060*C1 ⑨’

因为，牛的个数必然是正整数，因而，C1必为7358060P（P是正整数）。

Answer 2

公牛：白色10366482P，黑色7460514P，花色7358060P，棕色4149387P，
母牛：白色7206360P， 黑色4893246P，花色3515820P，棕色5439213P，

P为正整数或P=0时同时成立