Question

求函数y=x^2+2ax+1,x∈【2,4】的最大值和最小值

Answer 1

答：
y=x^2+2ax+1=(x+a)^2+1-a^2

1)当对称轴x=-a<=2即a>=-2时：
y在区间[2,4]上是单调递增函数
x=2时取得最小值y(2)=4+4a+1=4a+5
x=4时取得最大值y(4)=16+8a+1=8a+17

2）当对称轴2<x=-a<=(2+4)/2即-3<=a<-2时：
x=-a时取得最小值y(-a)=1-a^2
x=4时取得最大值y(4)=8a+17

3）当对称轴3<x=-a<4即-4<a<-3时：

x=-a时取得最小值y(-a)=1-a^2
x=2时取得最大值y(2)=4a+5

4）当对称轴x=-a>=4即x<=-4时：
y在区间[2,4]上是单调递减函数
x=4时取得最小值y(4)=8a+17
x=2时取得最大值y(2)=4a+5

Answer 2

抛物线开口向上，对称轴为：x=-a

(1)

当-a<2  即a>-2时，

f(x)在[2,4]上单调增，

f(max)=f(4)=17+8a

f(min)=f(2)=5+4a

(2)

当2≤-a<3，即-3<a≤-2时，函数的对称轴在区间的左半，函数f(x)在[2,4]上的单调性是：

先减后增，且增区间长，减区间短；

f(max)=f(4)=17+8a

f(min)=f(-a)=1-a^2

(3)

当3≤-a<4 ，即 -4<a≤-3时，函数的对称轴在区间的右半，函数f(x)在[2,4]上的单调性是：

先减后增，这次是增区间短，减区间长；

f(max)=f(2)=5+4a

f(min)f(-a)=1-a^2

(4)

当4≤-a ,即a≤-4时，函数f(x)在[2,4]上是减函数，

f(max)=f(2)=5+4a

f(min)=f(4)=17+8a