Question

圆(x-1)²+(y-1)²=4,P(6,2),过P作直线与圆相交于两点,求弦中点的轨迹方程

Answer 1

圆 (x-1)^2+(y-1)^2=4 的圆心为 C（1，1），半径为 2 ，

设过 P 的直线与圆交于 A、B ，并设 AB 的中点为 M（x，y），

由弦心距性质，CM丄AB ，

由于 C、P 均为定点，因此 M 是三角形 CMP 的直角顶点，

因此 M 的轨迹是以 CP 的中点 Q（7/2，3/2）为圆心，r=|CP|/2=√26/2 为半径的圆在已知圆内的部分，

M 轨迹的完整圆的方程为 (x-7/2)^2+(y-3/2)^2=13/2 。

Answer 2

解答：
设弦中点M(x,y)
圆心是A（1,1）
则AM⊥PM
AM=（x-1,y-1)
PM=（x-6,y-2)
∴ AM.PM=0
即(x-1)(x-6)+(y-1)(y-2)=0
即x²+y²-7x-3y+8=0(在已知圆内的部分。)

追问

那怎么求x的取值范围？

追答

这个只能靠联立方程组
x²+y²-7x-3y+8=0

(x-1)²+(y-1)²=4，即x²+y²-2x-2y-2=0
两式相减，得到公共弦方程
5x+y-10=0
代入 x²+y²-2x-2y-2=0
消去x,整理得
13y²-30y-25=0
∴ y=(15±5√22)/13
∴ 轨迹方程是x²+y²-7x-3y+8=0 (15-5√22)/13<y<(15+5√22)/13

Answer 3

奥林匹克高手告诉你好方法啦，也是高考的标准方法：
C:(x-1)^2+(y-1)^2=4
C(1,1),P(6,2)
弦AB中点M(x,y)
CM⊥AB
k(CM)=(y-1)/(x-1)
k(AB)=k(PM)=(y-2)/(x-6)
k(CM)*k(AB)=k(CM)*k(PM)=-1
[(y-1)/(x-1)]*[(-2)/(x-6)]=-1
(x-3.5)^2+(y-1.5)^2=6.5