Question

高等数学 二重积分基础题 求大神详细解答~~~

Answer 1

1. 积分区域关于y轴对称，2x^3+3sinx/y 为x的奇函数，积分为0，则
原积分 I=∫∫<D>7dxdy=7π(4-1)=21π.
2. 积分区域关于x轴对称，cos(xy) 为y的偶函数;
积分区域关于y轴对称，cos(xy) 为x的偶函数.
记D1为第一象限的四分之一圆，则
原积分 I = 4∫∫<D1>[e^(x^2+y^2)cos(xy)]dxdy
= 4∫<0,π/2>dt∫<0,r>[e^(R^2)cos(R^2*sintcost)]RdR,
所求极限即
lim<r→0>4∫<0,π/2>dt∫<0,r>[e^(R^2)cos(R^2*sintcost)]RdR/(πr^2) (0/0型)
=lim<r→0>4∫<0,π/2>dt[e^(r^2)cos(r^2*sintcost)]r/(2πr)
=4∫<0,π/2>dt[1/(2π)]=1.

Answer 2

=21π
可以拆成三项积分分别相加，前两项积分都是关于x的奇函数，而且积分区域关于原点对称，所以都为0，最后答案=7*π（4-1）=21π