Question

设命题p:函数f(x)=lg(ax²-4x＋a)的定义域为R,命题q:不等式2x²＋x＞2＋ax，

设命题p:函数f(x)=lg(ax²-4x＋a)的定义域为R,命题q:不等式2x²＋x＞2＋ax，对所有的x∈(-∞,-1)上恒成立，如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围?

Answer 1

命题p:函数f(x)=lg(ax²-4x＋a)的定义域为R，
则ax²-4x+a>0恒成立，
从而 a>0且⊿=16-4a²<0
解得 a>2
命题q:不等式2x²＋x＞2＋ax，对所有的x∈(-∞,-1)上恒成立，
由于x<0，分离参数，得
a>(2x²+x-2)/x=2x -2/x +1， x∈(-∞,-1)
令f(x)=2x -2/x +1， x∈(-∞,-1]
则a≥[f(x)]max，x∈(-∞,-1]
而f'(x)=2+2/x²>0，f(x)在(-∞，-1]上是增函数，
最大值为f(-1)，
从而a≥f(-1)=1
于是 p：a>2，q：a≥1
如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p和q一真一假。由于p真时，q也真，
从而 p假q真，即 1≤a≤2