Question

过抛物线y平方=2px（p大于0）的焦点作倾斜角为a的直线l，设l交抛物线于A B两点。 1）

过抛物线y平方=2px（p大于0）的焦点作倾斜角为a的直线l，设l交抛物线于A B两点。
1） 求|AB|
2） 求|AB|的最小值

解题步骤 谢谢

Answer 1

郭敦顒回答：
抛物线y²=2px（p大于0）的焦点P的坐标是（p/2，0），抛物线上一点到焦点的距离等于这点到准线的距离，准线方程是x=－p/2
l交抛物线于A B两点，设它们的坐标是A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）|AB|=|PA|+|PB|=x1+x2+p
（2）当倾斜角α→0时，min|AB|→2p

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谢谢

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郭敦顒继续回答：
能帮助你，我感到高兴，不必客气，请采纳。

Answer 2

解：提供三种算法。
方法一：设过交点P(p/2,0)的倾角a的直线l方程为：y=tana*(x-p/2)，代入抛物线方程得
[tana*(x-p/2)]^2=2px
也即
(tana)^2*x^2-[p(tana)^2+2p]*x+p^2(tana)^2/4=0
由韦达定理得
x1+x2=[p(tana)^2+2p]/(tana)^2=p[(tana)^2+2]/(tana)^2=p[1+2(cota)^2]
x1x2=[p^2(tana)^2/4]/(tana)^2=p^2/4
根据弦长公式应有
|AB|^2=[1+(tana)^2]*[(x1+x2)^2-4x1x2]
=[1+(tana)^2]*{p^2*[1+4(cota)^2+4(cota)^4]-4*p^2/4}
=(seca)^2*p^2*4(cota)^2*(csca)^2
=4p^2/(sina)^4
故|AB|=2p/(sina)^2
|AB|min=2p，此时a=π/2
方法二：设过交点P(p/2,0)的倾角a的直线l方程为：y=tana*(x-p/2)，代入抛物线方程得
[tana*(x-p/2)]^2=2px
也即
(tana)^2*x^2-[p(tana)^2+2p]*x+p^2(tana)^2/4=0
由韦达定理得
x1+x2=[p(tana)^2+2p]/(tana)^2=p[(tana)^2+2]/(tana)^2=p[1+2(cota)^2]
根据抛物线几何性质得：
|FA|=x1-(-p/2)=x1+p/2
|FB|=x2-(-p/2)=x2+p/2
故|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2+p=p[1+2(cota)^2]+p
=2p(csca)^2=2p/(sina)^2
|AB|min=2p，此时a=π/2
方法三：利用极坐标法。首先，将抛物线y^2=2px向左平移p/2个单位，得抛物线
y^2=2p(x+p/2)
平移后的抛物线焦点即为坐标原点（0,0）。根据极坐标的定义，极坐标(ρ,a)表示抛物线上极角为a、极径为ρ的各点。
将x=ρcosa,y=ρsina代入方程，得
(ρsina)^2=2p(ρcosa+p/2)
也即
(sina)^2ρ^2-2pcosaρ-p^2=0
对给定的a角，关于ρ的一元二次方程有两个相异根ρ1、ρ2，满足韦达定理
ρ1+ρ2=2pcosa/(sina)^2
ρ1ρ2=-p^2/(sina)^2<0
可见两个相异根还是异号的，一正一负。于是
|AB|=|ρ1-ρ2|=√[(ρ1+ρ2)^2-4ρ1ρ2]
=√{[2pcosa/(sina)^2]^2+4p^2/(sina)^2}
=2p/(sina)^2
|AB|min=2p，此时a=π/2
不明白请追问。

追问

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