Question

若直线y=x+b与曲线x=根号（1-y2)恰有一个公共点，则b的取值范围是？

Answer 1

曲线x=根号（1-y2)表示的曲线为 圆x^2+y^2=1的上半圆包括与x轴的两个交点，
直线y=x+b 表示斜率为1的所有直线
由 图像可知
若直线y=x+b与曲线x=根号（1-y2)恰有一个公共点，
相交时 -1<=b<1
相切时 b=√2
所以 b的取值范围是 -1<=b<1或b=√2

Answer 2

数形结合
b∈（-1,1】∪{－√2 }

过程：
x＝根号下(1-y²)
x²＋y²＝1² （x≥0）
也就是，x²＋y²＝1 的图形是以坐标原点O为圆心，半径为1的右半圆
圆与Y轴上半轴相较于A（0，1），下半轴与B（0，-1）

用直线y=x+b 从圆下方向上平移，
当直线与半圆相切，或者b∈（-1,1】时，有且只有一个交点

当相切时，直线与y轴的下半轴的交点为D，
直线与圆切点为E，连接圆心O与切点E

∴OE垂直于直线
∵直线的斜率为1，
∠ODE=45º
∴OD＝OE/sin45º=1/sin45º＝√2.

∵D点在y轴的下半周，所以，D点的坐标是（0，-√2）
此时的b＝-根号2

所以b＝-√2 或者b∈（-1,1】