Question

二次函数fx满足f（x+1）-f（x）=2x恒成立，且f（0）=1.若不等式f（x）大于2x+m在

二次函数fx满足f（x+1）-f（x）=2x恒成立，且f（0）=1.若不等式f（x）大于2x+m在闭区间-1.1上恒成立求实数m的取值范围

Answer 1

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Answer 2

由f(0)=1,可设f(x)=ax^2+bx+1
则f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=2x
对比系数得：2a=2, a+b=0
解得：a=1, b=-1
故f(x)=x^2-x+1

x^2-x+1>2x+m, 在[-1,,1]上恒成立
即m<x^2-3x+1=g(x)
现求g(x)在[-1,1]上的最小值
g(x)=(x-3/2)^2-5/4
当x=1时，g(x)最小为-1
因此有m<-1

Answer 3

由f(0)=1,可设f(x)=ax^2+bx+1
则f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=2x
对比系数得:2a=2,
a+b=0
解得:a=1,
b=-1
故f(x)=x^2-x+1
x^2-x+1>2x+m,
在[-1,,1]上恒成立
即m<x^2-3x+1=g(x)
现求g(x)在[-1,1]上的最小值
g(x)=(x-3/2)^2-5/4
当x=1时，g(x)最小为-1
因此有m<-1