Question

如图，过A（8，0），B（0，8√3)两点的直线与直线Y=√3X交于点c,平行于Y轴的直线L从原点O出发，以每秒

1个单位长度的速度沿X轴向右移动，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧做等边三角形DEF，设三角形DEF与三角形BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线L的运动时间为t（秒）
（1）求C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线L与X轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标‘若不存在，请说明理由。
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Answer 1

（1）C（4， 4√3）
t的取值范围是：0≤t≤4
（2）∵D点的坐标是（t， -√3t+8√3），E的坐标是（t， √3t）
∴DE= -√3t+8√3- √3t= 8√3-2√3t；
∴等边△DEF的DE边上的高为：12-3t；
∴当点F在BO边上时：12-3t=t，
∴t=3
当0≤t2＜3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： 8√3-2√3t- 2√3/3t
S= t/2(8√3-2√3t+8√3-2√3t-2√3/3t)
= t/2(16√3-14/3√3t)
= -7/3√3t²+8√3t；
当3≤t6≤4时，重叠部分为等边三角形
S= 1/2(8√3-2√3t)(12-3t)
= 3√3t²-24√3t+48√3；
（3）存在，P（ 24/7，0）；
说明：∵FO≥ 4√3，FP≥ 4√3，OP≤4，
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP，
若FO=OP时，t=2（12-3t），t= 24/7，∴P（ 24/7，0）．