Question

如图9，在△ABC中，D为BC边上一动点（D不与B、C两点重合），DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点A。

（1）试探索当AD满足什么条件时四边形AEDF为菱形，并说明理由。 （2）在（1）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？ 谢谢

Answer 1

很简单啊，（1）当AD为∠BAC的角平分线时四边形AEDF为菱形，具体步骤不好打字，思路是这样的：DE//CA、DF//BA推出四边形AEDF为平行四边形且∠EAD=∠ADF、∠FAD=∠ADE,当AD为∠BAC的角平分线时可推得∠EAD=∠ADF,即三角形AED为等腰三角形，所以AE=ED,所以平行四边形AEDF为菱形
（2）在（1）条件下，△ABC的∠BAC为直角时，四边形AEDF为正方形

Answer 2

（1）AEDF已经是平行四边形，要得菱形只需DE=DF即可。平行线截下的小三角形与原来的大三角形总是相似三角形，所以DE:CA=BD:BC且DF:BA=CD:CB所以BD*CA/BC=DE=DF=CD*BA/CB得BD:CD=BA:CA即所求条件
（2）已经是菱形了，只要角A是直角就行了，即三角形ABC是角A为直角的直角三角形