Question

设三角形ABC的外心为O,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个定点为D

设三角形ABC的外心为O,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个定点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H，设三角形ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆半径为R，用R表示OH。

Answer 1

OH=a+b+c，
两边同时平方：OH^2=a^2+b^2+c^2+2a*b+2a*c+2b*c
=3R^2+2R^2(cos<a,b>+cos<a,c>+cos<b,c>) <a,b>表示两向量夹角
只需求出三个夹角即可。由外心的定义知OA=OB=OC=R
所以角OAC=OCA,OAB=OBA,OBC=OCB
而它们之和为180
所以OCA+OCB+OBA=90
又有OBA+OAB+AOB=2OBA+AOB=180
所以OBA+1/2AOB=90
所以OCA+OCB=ACB=1/2AOB 所以角AOB=150
同理角BOC=120，角AOC=90
代入得OH^2=3R^2+2R^2(-1/2-根号3 /2)
=(2-根号3)R^2
所以OH=根号(2-根号3)R=(根号6-根号2)R/2

Answer 2

O，C,D三点共线，向量OC等于向量OD，无法做出第二个平行四边形。

Answer 3

确定一下答案，OH=R?怎么这么怪。。。。

我算错了。。。但方法肯定对