Question

数学对数中求最值

a,b,c,都大于零。则logab+2logbc+4logca的最小值。其中的对数第一个字母是底数，
若abc都大于1呢

Answer 1

a、b、c都为正数，且都不为1，求log_a (b)+2log_b (c)+4log_c (a)的最小值。

log_x(y)=lg(y)/lg(x)（换底公式，lg为常用对数）
设p=lg a，q=lg b，r=lg c，则p、q、r∈R\{0}。

L=log_a(b)+2log_b(c)+4log_c(a)
=lg b / lg a + 2lg c / lg b + 4 lg a / lg c
=q/p+2r/q+4p/r
设u=q/p，v=r/q，则v/u=p/r，则u、v∈R。
L=u+2v+4v/u，
显然L没有最小值，L可以取遍所有实数。

如果把a、b、c的范围限制为大于1的实数，那么
L=q/p+2r/q+4p/r
≥3*√(q/p*2r/q*4p/r)
=3*2
=6，
等号当且仅当q/p=2r/q=4p/r，即q=r=2p时等号成立，此时b=c=a^2。

在a、b、c>1的情况下，
当b=c=a^2时，L取得最小值6。

Answer 2

最起码题目条件应该还有a,b,c都不为1
用换底公式logab=lgb/lga
则原式=lgb/lga+2lgc/lgb+4lga/lgc
考虑到lga lgb lgc可能为负（当a,b,c小于1时）
不妨先假设a,b,c都大于1
则由均值不等式得（lgb/lga+2lgc/lgb+4lga/lgc）≥3【lgb/lga*2lgc/lgb*4lga/lgc】（【】里面要开3次根号，我找了半天不会输入根号）
即最小值是6

若考虑a,b,c可能小于1的情况
不妨设只有b小于1，a大于1并且无限接近1
则上式没有最小值
最小值是-∞