Question

四边形ABcD内接于圆.对角线Ac与BD相交于点E.F在Ac上.AB=AD.角BFc=角BAD=

四边形ABcD内接于圆.对角线Ac与BD相交于点E.F在Ac上.AB=AD.角BFc=角BAD= 2角DFc.求证cD垂直DF,(2)BC=2CD

Answer 1

(1)令∠CFD=x,则∠BAD=∠BFC=2x
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°-2x
又AB=AD，有图中∠1=∠2，即有∠1=∠2=90°-x
∴△CDF中，∠CFD+∠1=x+(90°-x)=90°
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF
(2)因弦AB所对的∠ADB=∠ACB且已知∠BAD=∠BFC
易得△ABD∽△FBC，原有AB=AD，所以可得FB=FC
作FG⊥BC，由等腰△三线合一可得BC=2CG，
而证CD=CG可用全等或角平分线的性质可得
所以有BC=2CD.