Question

．(2010年重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第

．(2010年重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）

∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，三十度所对的边为斜边的一半，所以oc=三分之二倍根号三
（i）当0＜t＜三分之二时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）
在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=二分之一，OQ=二分之t，
∴S△OPQ=二分之一，OP•EQ=二分之一（2-3t）•二分之t=-四分之三t²+二分之一t，
即S=-四分之三t²+二分之一t；（3分）
（ii）当三分之二≤t＜三分之四时（如图）

OQ=t，OP=3t-2．
∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．
∴S△OPQ=二分之一OQ•OP=二分之一t•（3t-2）=三分之二t²-t，
即S=-三分之二t²-t；
故当0＜t＜三分之二时，S=-四分之三t²+二分之一t，当三分之二≤t＜三分之四时，S=二分之三t²-t（5分）

（2）D（三分之根号三，1）或（三分之二倍根号三，0）或（三分之二，0）或（三分之四，三分之二倍根号三）（9分）

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
又∵MC=CF，CN=CN，
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=NF．（11分）
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周长不变，其周长为4．

追问

亲，您这粘的真彻底，我刚刚就看的这个，没图啊！而且没有第三问。。

追答

第三问有啊（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
又∵MC=CF，CN=CN，
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=NF．（11分）
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周长不变，其周长为4．

追问

我发的是第三问求面积的。。。。。。请看图

追答

那你的题目（文字）……