Question

求证不等式 a+b=1，求证（1/a^2-1)（1/b^2-1)>>9

已知a、b均为正实数，a+b=1，求证（1/a^2—1)（1/b^2—1)>>9

Answer 1

因为a+b=1，所以（a+b）^2=1，即a^2+2ab+b^2=1，即a^2+b^2=1-2ab。 不等式左侧：（1/a^2—1)（1/b^2—1)=（1-a^2)（1-b^2)/a^2*b^2=(1+a^2*b^2-a^2-b^2)/a^2*b^2，因上式a^2+b^2=1-2ab，所以不等式左侧=(1+a^2*b^2-1+2ab)/a^2*b^2=(a^2*b^2+2ab)/a^2*b^2=（ab+2）/ab=1+2/ab。 因为a、b均为正实数，a+b=1，所以当a=b时，a=b=0.5，则ab=0.25，故1+2/ab=9； 当a不等于b时，ab<0.25，故1+2/ab>9。 综合，得证（1/a^2—1)（1/b^2—1)>=9。