Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-根号3sinA）cosB=0

（1）求角B的大小
（2）若a+c=1，求b的取值范围

Answer 1

∵cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0，
∴－cos（A＋B）＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0，
∴－cosAcosB＋sinAsinB＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0，
∴sinA（sinB－√3cosB）＝0，∴sinB－√3cosB＝0，∴tanB＝√3，∴B＝60°。

由余弦定理，有：
b^2＝a^2＋c^2－2accosB＝（a＋c）^2－3ac。······①
显然有：a＋c≧2√（ac），∴（a＋c）^2≧4ac，∴（3/4）（a＋c）^2≧3ac。······②
①＋②，得：b^2＋（3/4）（a＋c）^2≧（a＋c）^2，∴b^2≧（1/4）（a＋c）^2＝1/4，
∴b≧1/2。
显然有：b＜a＋c＝1，∴1/2≦b＜1。
∴满足的条件的b的取值范围是［1/2，1）。

Answer 2

(1)cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0
-cos(A+B)+(cosA-√3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA≠0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
(2)a+c=1
a²+2ac+c²=1
b²=a²+c²-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1，1 ＞ a＞0 ，1 ＞c＞0
故可令 a=sin²α， c=cos²α 0＜α＜π/2

1-3ac=1-3sin²αcos²α=1-3/4( sin2a)²=1-3/4 （1-cos4α）/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0＜α＜π/2 0＜4α＜2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0＜α 故最大值＜1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ，α=π/4 a=c=sin²α=1/2 )
1 ＞b²≥1/4
1 ＞b≥1/2