在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0

(1)求角B的大小(2)若a+c=1,求b的取值范围... (1)求角B的大小
(2)若a+c=1,求b的取值范围
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西村律子
2014-07-12 · 超过56用户采纳过TA的回答
知道答主
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∵cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0,
∴-cos(A+B)+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴sinA(sinB-√3cosB)=0,∴sinB-√3cosB=0,∴tanB=√3,∴B=60°。

由余弦定理,有:
b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-3ac。······①
显然有:a+c≧2√(ac),∴(a+c)^2≧4ac,∴(3/4)(a+c)^2≧3ac。······②
①+②,得:b^2+(3/4)(a+c)^2≧(a+c)^2,∴b^2≧(1/4)(a+c)^2=1/4,
∴b≧1/2。
显然有:b<a+c=1,∴1/2≦b<1。
∴满足的条件的b的取值范围是[1/2,1)。
缺_月寒枝
2014-07-12
知道答主
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(1)cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0
-cos(A+B)+(cosA-√3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA≠0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
(2)a+c=1
a²+2ac+c²=1
b²=a²+c²-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1,1 > a>0 ,1 >c>0
故可令 a=sin²α, c=cos²α 0<α<π/2

1-3ac=1-3sin²αcos²α=1-3/4( sin2a)²=1-3/4 (1-cos4α)/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0<α<π/2 0<4α<2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0<α 故最大值<1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ,α=π/4 a=c=sin²α=1/2 )
1 >b²≥1/4
1 >b≥1/2
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