Question

复变函数方面的问题，望大神解答。

指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界还是无界，是单联通还是多联通区域？
|(z-1)/(z+1)|＞a(a＞0）。
在线等解答，谢谢。

Answer 1

将z共轭记为z*
a≠1时，
|z-1|²>a²|z+1|²
(z-1)(z*-1)>a²(z+1)(z*+1)
zz*-z-z*+1>a²zz*+a²(z+z*)+a²
zz*+[(a²+1)/(a²-1)](z+z*)+1<0
x²+y²+2[(a²+1)/(a²-1)]x+1<0
[x-(a²+1)/(a²-1)]²+y²<4a²/(a²-1)²
是以(a²+1)/(a²-1)为圆心，2a/|a²-1|为半径的圆内部，是区域，有界，单连通
a=1时
zz*-z-z*+1>zz*+(z+z*)+1
z+z*<0
x<0，是左半平面，是区域，无界，单连通

追问

第一步中是|z-1|平方，怎么化到(z-1)(z*-1)的呢？这两个我算了好像不等啊。

追答

第一步两边平方了
(z-1)(z*-1)=zz*-z-z*+1=x²+y²-2x+1
|z-1|²=|x-1+iy|²=(x-1)²+y²=x²-2x+1+y²