Question

如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点。

①求证：MD和NE互相平分；
②若BD⊥AC，EM=2倍的根号2，OD+CD=7，求△OCB的面积。
求第二小问解答方法

Answer 1

解：
由①可得DN=EM=2√2
∵BD⊥AC
∴∠ODC=90°
∵N是OC的中点
∴OC=2DN=4√2（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∵OD²+CD²=OC²=32
（OD+CD）²=OD²+CD²+2OD×CD=7²=49
2OD×CD=49-32=17
OD×CD=8.5
∵OB=2OM=2OD
∴S△OCB=OB×CD÷2=OD×CD=8.5

Answer 2

（2）解：连接OA
因为BD ,CE是三角形ABC的中线
所以O是三角形ABC的重心
所以E是AB的中点
OB=2OD
所以S三角形OCB=1/2S三角形COD
因为M是OB的中点
所以EM是三角形OAB的中位线
所以EM=1/2OA
因为BD垂直AC
所以BD是AC的垂直平分线
所以AD=CD=1/2AC
OA=OC
角CDO=90度
所以三角形CDO是直角三角形
所以OC^2=OD^2+CD^2
因为EM=2倍根号2
所以OC=OA=4倍根号2
因为OD+CD=7
所以(OD+CD)^2=7
OD^2+CD^2+2OD*CD=49
2OD*CD=48-32=17
1/2OD*CD=17/4
所以S三角形COD=17/4
所以S三角形OCB=17/2