Question

已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BD、CE的中点。求证：MN//BC

Answer 1

过D作DF平行CE,交BC延长线于F,取DF中点G,连接MG,NG
因为△ABC的中线BD、CE
所以DE平行BC,所以平行四边形EDFC,
又N为CE中点,所以NG平行CF(即BC)
又在三角形DBG中,M,G分别为BD,DF中点
所以MG平行BF(即BC)
所以M,N,G共线(因为过直线外一点,有且只有一条平行直线)
所以MN//BC

Answer 2

证明：连接E、D 过点D做DC1∥EC交BC的延长线于点C1 做边DC1的中点N1
因为E、D分别是边AB、AC的中点（中线的定义）
所以ED∥BC(中位线定理)
所以四边形ECC1D是平行四边形（两组对边分别平行）
所以NN1∥ED∥BC
又因为M、N1分别是BD、DC1的中点
所以MN1∥BC
所以M、N、N1在同一直线上
所以MN∥BC