Question

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．
（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；
（II）设k=-1，f（x）是R上的增函数，且f（4）=5，若不等式f（mx2-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
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Answer 1

1.设x1<x2∈R, f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,因为x1<x2, 所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2-x1)-1>0,
所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上增。
2.因为f(4)=f（2+2）=f（2）+f(2)-1=5,得f(2)=3,
所以f(3m^2-m-2)<3，即f(3m^2-m-2)<f(2),又f(x)增，所以3m^2-m-2<2,3m^2-m-4<0,
(3m-4)(m+1)<0, -1<m<4/3 级
f(a+b)=f(a)+f(b)-1
所以f(a+b)-f(a)=f(b)-1
b=(a+b)-a
所以f(a+b)-f(a)=f[(a+b)-a]-1
所以f(p)-f(q)=f(p-q)-1
令d>c
则f(d)-f(c)=f(d-c)-1
因为d>c,所以d-c>0
当x大于0时 f(x)大于1
所以f(d-c)>1
f(d-c)-1>0
所以
f(d)-f(c)>0
即d>c
f(d)>f(c)
所以f(x)是增函数

f(a+b)=f(a)+f(b)-1
令a=b=2,则a+b=4
f(4)=f(2)+f(2)-1
5=2*f(2)-1
f(2)=3
因f(3m^2-m-2)<3=f(2)
f(x)是增函数
所以3m^2-m-2<2
3m^2-m-4<0
(m+1)(3m-4)<0
-1<m<4/3