Question

已知函数f(x)的定义域为R，且满足以下条件：①对任意的x∈R，有f(x)>0；②对任意x,y∈R，有f(xy)=[f(x)]

的y次方；③f(1/3)>1
（1）求f(0)的值；
（2）判断f(x)的单调性，并说明理由；
（3）若a>b>c>0且a，b，c成等比数列，求证：f(a)+f(b)>2f(b)

Answer 1

1. 令x=0 f(0)=[f(0)]^0=1 f(0)=1
   2.取y>0 x=1/3 f(y*1/3)=f(1/3)^y
   任取x1>x2 f(x1)/f(x2)=f(3x1/3)/f(3x2/3)=
   [f(1/3)]^3x1/[f(1/3)]^3x2=[f(1/3)]^3(x1-x2)  3(x1-x2)>0 f(1/3)>1
   [f(1/3)]^3(x1-x2)>1  f(x1)>f(x2) 所以是单调增的
   3.f(a)/f(b)  +f(c)/f(b)=[f(1/3)]^3(a-b) +[f(1/3)]^3(c-b)基本不等式
   ≥2根号下[f(1/3)]^3(a+c-2b)  b=根号下ac  a+c-2根号下ac=(根a-根c)^2>0
   [f(1/3)]^3(a+c-2b)>1   2根号下[f(1/3)]^3(a+c-2b)>2
   所以f(a)+f(c)>2f(b)

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