Question

函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f(x)＞0；②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)] y ；

函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f(x)＞0；②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)] y ；③ ；(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求证：f(x)在R上是单调增函数；(Ⅲ)若a＞b＞c＞0，且b 2 =ac，求证：f(a)+f(c)＞2(b)。

Answer 1

(Ⅰ)解：令x=0，y=2，得f(0)=[f(0)] 2 ， ∵f(0)＞0， ∴f(0)=1． (Ⅱ)证明：任取x 1 ，x 2 ∈(-∞，+∞)，且x 1 ＜x 2 ， 设 ， 则p 1 ＜p 2 ， ， ，p 1 ＜p 2 ， ∴f(x 1 )＜f(x 2 )， ∴f(x)在R上是单调增函数． (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)(Ⅱ)知f(b)＞f(0)=1， ∴f(b)＞1， ， ， 而 ， ∴ ， ∴f(a)+f(c)＞2f(b)。