Question

设x+2y=1，求x²+y²的最小值

答案是1/5.这个题不构造二次函数的话，均值不等式，x²+y²=2xy（x=y）时取得最小。这个最小值不是1/5怎么回事？

Answer 1

用柯西不等式就不会有此疑问了:
x²+y²
=x²/1+(2y)²/4
≥(x+2y)²/(1+4)
=1/5.
∴y/2=x/1且x+2y=1，
即x=1/5，y=2/5时，
所求最小值: (x²+y²)|min=1/5。