Question

已知抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不

已知抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点．（1）求实数a的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）是否存在这样的a值，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？

Answer 1

（1）设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，
又圆的方程为[x-（a+4）]²+y²=16，将y²=4ax代入得：x²-2（4-a）?x+a²+8a=0，
∴△=4（4-a）²-4（a²+8a）＞0，
∴a＜1；
（2）由（1）知，x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（3）假设存在这样的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，
所以这样的a不存在．?