Question

在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是线段AB上一动点（与点A、B不重合），Q是线段OA上

在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是线段AB上一动点（与点A、B不重合），Q是线段OA上一动点（与点O、A不重合），C为OQ的中点．（1）求直线AB的解析式：（2）过点C作AB的垂线，垂足为D，设OC=x，CD=d，写出d与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）当OQ=3时，以OQ为直径作圆C，试判断直线AB与圆C的位置关系；（4）当PQ与x轴垂直时△OPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段OQ的长的取值范围：若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），（1分）
将A（4，0），B（0，3）的坐标代入有：

b＝3 0＝4k+b

?

b＝3 k＝? 3 4

，
∴y=-

3

4

x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴

CD

OB

＝

AC

AB

∴d=

AC

AB

×OB＝

4?x

5

×3＝

3

5

(4?x)，
即：d=-

3

5

x+

12

5

（0＜x＜4）；（5分）

（3）当OQ=3时，圆C的半径为

OQ

2

（2分），即x=

3

2

，（3分）
此时圆心C到直线AB的距离d=

3

2

，
∴d=x，即直线AB与圆C相切；（8分）

（4）不妨设圆C与直线AB的切点为M，当PQ不与X轴垂直时，要使△OPQ为直角三角形，须使∠OPQ=90°，（9分）
当OQ＜3时，圆C与直线相离，∠OPQ＜90°，（10分）
当OQ=3时，圆c与直线相切，P点与M点重合．∠OPQ=90°，（11分）
当3＜OQ＜4时，圆c与线段AB有两个交点满足题设条件．
∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．（12分）