Question

已知函数f（x）=a2x2?bx+lnx (a，b∈R）．（Ⅰ） 若a=b=1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）

已知函数f（x）=a2x2?bx+lnx (a，b∈R）．（Ⅰ） 若a=b=1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ） 设a≤0，求f（x）的单调区间；（Ⅲ） 设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（-a）与-2b的大小．

Answer 1

（Ⅰ） a=b=1时，f(x)＝

1

2

x2?x+lnx，f′(x)＝x?1+

1

x

，
∴f(1)＝?

1

2

，k=f'（1）=1，
故f（x）点（1，f（1））处的切线方程是2x-2y-3=0．
（Ⅱ）由f(x)＝

a

2

x2?bx+lnx ，x∈(0 ，  +∞)，
得f′(x)＝

ax2?bx+1

x

．
（1）当a=0时，f′(x)＝

1?bx

x

．
①若b≤0，
由x＞0知f'（x）＞0恒成立，即函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②若b＞0，
当0＜x＜

1

b

时，f'（x）＞0；当x＞

1

b

时，f'（x）＜0．
即函数f（x）的单调递增区间是（0，

1

b

），单调递减区间是（

1

b

，+∞）．
（2）当a＜0时，f'（x）=0，得ax²-bx+1=0，
由△=b²-4a＞0得x1＝

b+ b2?4a

2a

，x2＝

b? b2?4a

2a

．
显然，x₁＜0，x₂＞0，
当0＜x＜x₂时，f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增，
当x＞x₂时，f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，

b? b2?4a

2a

），单调递减区间是（

b? b2?4a

2a

，+∞）．
综上所述：当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，

1

b

），单调递减区间是（

1

b

，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，

b? b2?4a

2a

），
单调递减区间是（

b? b2?4a

2a

，+∞）． 
（Ⅲ）由题意知函数f（x）在x=2处取得最大值．
由（ I I）知，

b? b2?4a

2a

是f（x）的唯一的极大值点，
故

b? b2?4a

2a

=2，整理得-2b=-1-4a．
于是ln（-a）-（-2b）=ln（-a）-（-1-4a）=ln（-a）+1+4a
令g（x）=lnx+1-4x（x＞0），则g′(x)＝

1

x

?4．
令g'（x）=0，得x＝

1

4

，当x∈(0 ，  

1

4

)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈(

1

4

 ，  +∞)时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
因此对任意x＞0，g（x）≤g(

1

4

)＝ln

1

4

＜0，又-a＞0，
故g（-a）＜0，即ln（-a）+1+4a＜0，即ln（-a）＜-1-4a=-2b，
∴ln（-a）＜-2b．