Question

已知函数f（x）=1x+alnx（a不是0）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ） 若在区间[1，e]上

已知函数f（x）=1x+alnx（a不是0）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ） 若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）因为f′(x)＝?

1

x2

+

a

x

＝

ax?1

x2

，…（2分）
当a=1，f′(x)＝

x?1

x2

，令f'（x）=0，得 x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．…（4分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；    …（5分）
（II）因为f′(x)＝?

1

x2

+

a

x

＝

ax?1

x2

，且a≠0，令f'（x）=0，得到x＝

1

a

，
若在（0，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（1）当x＝

1

a

＜0，即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(e)＝

1

e

+alne＝

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜?

1

e

，即a∈(?∞，?

1

e

)…（8分）
（2）当x＝

1

a

＞0，即a＞0时，
①若e≤

1

a

，则f'（x）≤0对x∈（0，e]成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(e)＝

1

e

+alne＝

1

e

+a＞0，
显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立    …（10分）
②若0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，则有

x	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间（0，e]上的最小值为f(

1

a

)＝a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)＝a+aln

1

a

＝a(1?lna)＜0，
得 1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：a∈(?∞，?

1

e

)∪(e，+∞)符合题意．…（12分）