Question

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）-1≥a(1?1x)．

Answer 1

（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=2lnx+1，
f′(x)＝

2

x

，f（e）=3，k＝f′(e)＝

2

e

．
∴函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y-3=

2

e

(x?e)，
即2x-ey+e=0；
（Ⅱ）证明：令g(x)＝f(x)?1?a(1?

1

x

)=alnx?a(1?

1

x

)(x＞0)，
则g′(x)＝

a

x

?

a

x2

＝

a(x?1)

x2

，由g′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
因此g（x）≥g（1）=0，即f(x)?1≥a(1?

1

x

)．