Question

设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，求a的值；（Ⅱ）

设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）-ax+ex＞0．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴f'（x）=a-

1

x

=

ax?1

x

，
又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，
∴f'（e）=a-

1

e

=

1

e

，故a=

2

e

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a-

1

x

=

ax?1

x

（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，
当a＞0时，令f'（x）=0，则x=

1

a

，
令f'（x）＜0，则0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0，则x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，+∞）上单调递增，
综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，

1

a

），f（x）的单调增区间为（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）-ax+e^x＞0，即证e^x-lnx-2＞0，
令g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需证g（x）＞0，
∵g'（x）=ex-

1

x

，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，
又g'（1）=e-1＞0，g'（

1

3

）=e

1

3

-3＜0，∴g'（1）?g'（

1

3

）＜0，
∴g'（x）在（

1

3

，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
设g'（x）的零点为t，则g'（t）=e^t-

1

t

=0，即e^t=

1

t

（

1

3

＜t＜1），
由g'（x）的单调性知：
当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，
∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=e^t-lnt-2=

1

t

-ln

1

et

-2=