Question

已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ

已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝an3n，记数列bn的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．（1分）
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，
∴a₂²=2a₁?（a₃+1），即a₂²=2（a₂-d）?（a₂+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，故a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ）bn＝

an

3n

＝

3n?2

3n

＝(3n?2)?

1

3n

，
∴Tn＝1×

1

3

+4×

1

32

+7×

1

33

++(3n?2)×

1

3n

，①
①×

1

3

得

1

3

Tn＝1×

1

32

+4×

1

33

+7×

1

34

++(3n?5)×

1

3n

+(3n?2)×

1

3n+1

．②
①-②得

2

3

Tn＝

1

3

+3×

1

32

+3×

1

33

+3×

1

34

++3×

1

3n

?(3n?2)×

1

3n+1

=

1

3

+3×

1 32 (1? 1 3n?1 )

1? 1 3

?(3n?2)×

1

3n+1

＝

5

6

?

1

2

×

1

3n?1

?(3n?2)×

1

3n+1

，（10分）
∴Tn＝

5

4

?

1

4

×

1

3n?2

?

3n?2

2

×

1

3n

＝

5

4

?

6n+5

4

×

1

3n

．（12分）