Question

已知函数f（x）=x2-alnx（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）若函数g（x）=f（x）+2x在[1，4

已知函数f（x）=x2-alnx（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）若函数g（x）=f（x）+2x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-alnx，a=2
∴f（x）=x²-2lnx，x＞0，
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2?1)

x

，x＞0
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2?1)

x

＞0，则x＞1，
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2?1)

x

＜0，则0＜x＜1
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2?1)

x

=0，x=1
∴f（x）=x²-2lnx，x＞0，在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增．
极小值为f（1）=1
（2）∵函数g（x）=f（x）+

2

x

，f（x）=x²-alnx，
∴g（x）=x²-alnx+

2

x

，x＞0，
即g′（x）=2x?

a

x

?

2

x2

∵g（x）=x²-alnx+

2

x

，在[1，4]上是减函数，
∴2x?

a

x

?

2

x2

≤0，在[1，4]上恒成立，
即a≥2x²-

2

x

，在[1，4]上恒成立，
令h（x）=2x²-

2

x

，x∈[1，4]，单调递增
所以h（x）_max=h（4）=

63

2

a≥

63

2

故实数a的取值范围为：[

63

2

，+∞）