Question

已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g(x)＝f(x)+2x在[1，+∞

已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g(x)＝f(x)+2x在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=-2时，f′(x)＝2x?

2

x

＝

2(x+1)(x?1)

x

．…（2分）
当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），极小值是f（1）=1．…（8分）
（2）由g(x)＝x2+alnx+

2

x

，得g′(x)＝2x+

a

x

?

2

x2

．…（9分）
又函数g(x)＝x2+alnx+

2

x

为[1，+∞）上单调函数，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x?

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

?2x2在[1，+∞）上恒成立，
而φ（x）=

2

x

?2x2在[1，+∞）上的最大值为φ（1）=0，所以a≥0．…（12分）
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
根据①，在[1，+∞）上φ（x）_max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．…（13分）
所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分）
综上，a的取值范围为[0，+∞）．…（16分）